北京大学：数学是什么 ?

丘维声教授

第1讲 数学的思维方式

3000 年前 希腊，巴比伦，中国，印度， 10世纪阿拉伯， 16世纪欧洲文艺复兴 数学 => [经典数学 Classical Math]

1830 年 数学的革命 – 法国天才少年 伽罗瓦(Évariste Galois 1811 – 1832)=> [近代数学 Modern Math]

观察 (Observe): 客观现象
$latex downarrow$
抽象 (Abstraction) : 概念, 建立 模型 (Model)
$latex downarrow$
探索 (Explore): 自觉 (Intuition), 解剖 , 类比(Analogy), 归纳 (Induction), 联想, 推理 (Deduction) 等…
$latex downarrow$
猜测 (Conjecture) : eg. Riemann Conjecture (unsolved)
$latex downarrow$
论证 (Prove): 只能用公理 (Axioms)(已知的共识), 定义 (概念), 已经证明的定理 (Theorems), 进行逻辑推理并计算.
$latex downarrow$
揭示 (Reveal): 事物的内在规律 (井然有序)

第二讲: 例子 – 微积分 (Calculus) 的诞生， 演变， 严谨化

思维路程:

15 世纪 天体运动的观察: 哥白尼， 开普勒 三大定律 (天文数据结论， 非数学证明)

17 世纪 理论化: [英]牛顿，[德] Leibniz (非严密的数学)

19 世纪 严密数学: [法] Cauchy 柯西, [德]Wierstrass=> “epsilon-delta” 极限 (Limit)=> 柯西 数列 (Series).

实数 (R Real Numbers) 的 Complete (完备性 ) : [德国中学数学 老师]Dedekind (戴德金)’s Cut

有理数 (Q Rational Numbers): 稠密 但 不 Complete , 即 有漏洞， 穿插进 无理数 (irrational like